Задача №1448
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}\).
Решение
Осуществим замену \(\displaystyle{x=|a|\sin{t}}\), причём \(\displaystyle{t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)}\). Так как на указанном интервале \(\displaystyle{\cos{t}\gt{0}}\), то для данной замены получим:
\[
\sqrt{a^2-x^2}=|a|\cdot\sqrt{1-\sin^2{t}}=|a|\cdot|\cos{t}|=|a|\cos{t}.
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{x^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\left|\begin{aligned}& x=|a|\sin{t}.\\& dx=|a|\cos{t}dt.\end{aligned}\right|
=\int\frac{a^2\sin^2{t}\cdot{|a|}\cos{t}dt}{|a|\cos{t}}=\\
=a^2\int\sin^2{t}dt
=\frac{a^2}{2}\cdot\int\left(1-\cos{2t}\right)
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\frac{\sin{2t}}{2}\right)+C=\\
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\sin{t}\cos{t}\right)+C
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(t-\sin{t}\sqrt{1-\sin^2{t}}\right)+C=\\
=\frac{a^2}{2}\cdot\left(\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x}{|a|}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right)+C
=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{|a|}-\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1891 |