Задача №1447

Решение

Случай \(\displaystyle{a=0}\) довольно тривиален и разбирается быстро. Для \(\displaystyle{x\neq{0}}\) получим:

Если \(\displaystyle{x\lt{0}}\), то:

Если \(\displaystyle{x\gt{0}}\), то:

Если же \(\displaystyle{a\neq{0}}\), то в задачнике предлагаются три замены на выбор. Применим первую: \(\displaystyle{x=\frac{|a|}{z}}\). Отмечу, что в задачнике эта подстановка указана как \(\displaystyle{x=\frac{a}{z}}\), однако я предпочту записать в числителе именно \(\displaystyle{|a|}\). Дело в том, что в дальнейшем решении нам понадобится извлекать корень из \(\displaystyle{a^2}\). Так как знак параметра \(\displaystyle{a}\) в условии не определён, то придётся записать в общем виде \(\displaystyle{\sqrt{a^2}=|a|}\). Если мы укажем подстановку в виде \(\displaystyle{x=\frac{|a|}{z}}\), то выражение \(\displaystyle{|a|}\) благополучно сократится.

Кроме того, так как \(\displaystyle{|a|\gt{0}}\) (случай \(\displaystyle{a=0}\) мы уже рассмотрели), то знаки переменных \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{z}\) совпадают, т.е. \(\displaystyle{\sgn{x}=\sgn{z}}\).

Сделаю ещё одно лирическое отступление: указанную подстановку нужно рассматривать на интервалах \(\displaystyle{z\in(-\infty;0)}\) и \(\displaystyle{z\in(0;+\infty)}\). Однако две записи решения можно объединить в одну с помощью функции знака \(\displaystyle{\sgn{z}}\). В конце решения будет учтено равенство \(\displaystyle{\frac{\sgn{x}}{|x|}=\frac{1}{x}}\).