Задача №1442
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x\ln{x}}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x\ln{x}}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{1+\ln{x}};\;1+\ln{x}=u^2.\\& \frac{dx}{x}=2udu.\end{aligned}\right]
=2\int\frac{u^2du}{u^2-1}=\\
=2\int\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)dt
=2u+\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C
=2\sqrt{1+\ln{x}}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+\ln{x}}-1}{\sqrt{1+\ln{x}}+1}\right|+C
\]
В принципе, можно преобразовать полученный результат, немного упростив вид ответа. Если вас интересует такое упрощение, домножьте выражение в знаменателе на сопряжённое.
Ответ:
\(\displaystyle{2\sqrt{1+\ln{x}}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+\ln{x}}-1}{\sqrt{1+\ln{x}}+1}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1885 |