Задача №1441
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}
=\left|\begin{aligned}& t=\sqrt{1+e^x};\;x=\ln\left(t^2-1\right).\\& dx=\frac{2tdt}{t^2-1}.\end{aligned}\right|=\\
=\int\frac{2tdt}{t\cdot\left(t^2-1\right)}
=2\int\frac{dt}{t^2-1}
=\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C
=\ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C
\]
Ввиду того, что \(\displaystyle{\sqrt{1+e^x}\gt{1}}\), имеем \(\displaystyle{\sqrt{1+e^x}-1\gt{0}}\). Следовательно, знак модуля можно опустить:
\[
\ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C
=\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1884 |