Задача №1438
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt[4]{x};\,x=u^4.\\& dx=4u^3du.\end{aligned}\right]
=\int\frac{4u^3du}{u^2+u}=\\
=4\int\frac{u^2}{u+1}du
=4\int\frac{u^2-1+1}{u+1}du
=4\int\frac{(u-1)(u+1)+1}{u+1}du=\\
=4\int\left(u-1+\frac{1}{u+1}\right)du
=4\cdot\left(\frac{u^2}{2}-u+\ln|u+1|\right)+C
=2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln\left(\sqrt[4]{x}+1\right)+C
\]
Небольшое примечание: так как \(\displaystyle{\sqrt[4]{x}\ge{0}}\) при всех допустимых значениях переменной, то \(\displaystyle{\sqrt[4]{x}+1\gt{0}}\), поэтому \(\displaystyle{\left|\sqrt[4]{x}+1\right|=\sqrt[4]{x}+1}\). Следовательно, вместо \(\displaystyle{\left|\sqrt[4]{x}+1\right|}\) можно записать \(\displaystyle{\sqrt[4]{x}+1}\), что и было сделано.
Ответ:
\(\displaystyle{2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln\left(\sqrt[4]{x}+1\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1881 |