Задача №1437
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt[3]{x};\,x=u^3.\\& dx=3u^2du.\end{aligned}\right]
=\int\frac{3u^2du}{u(u-1)}
=3\int\frac{udu}{u-1}
=3\int\frac{u-1+1}{u-1}du=\\
=3\int\left(1+\frac{1}{u-1}\right)du
=3\cdot\left(u+\ln|u-1|\right)+C
=3\cdot\left(\sqrt[3]{x}+\ln|\sqrt[3]{x}-1|\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{3\cdot\left(\sqrt[3]{x}+\ln|\sqrt[3]{x}-1|\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1880 |