Задача №1435
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sqrt{ax+b}+m}}\).
Решение
При решении этого интеграла будем полагать, что \(\displaystyle{a\neq{0}}\) и \(\displaystyle{m\neq{0}}\). Исследование частных случаев не представляет особого интереса, так как легко сводится к табличным интегралам.
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{ax+b}+m}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{ax+b};\,x=\frac{u^2-b}{a}.\\& dx=\frac{2u}{a}du.\end{aligned}\right]
=\frac{2}{a}\int\frac{udu}{u+m}
=\frac{2}{a}\int\frac{u+m-m}{u+m}du=\\
=\frac{2}{a}\int\left(1-\frac{m}{u+m}\right)du
=\frac{2}{a}\cdot\left(u-m\ln|u+m|\right)+C
=\frac{2}{a}\cdot\left(\sqrt{ax+b}-m\ln\left|\sqrt{ax+b}+m\right|\right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{2}{a}\cdot\left(\sqrt{ax+b}-m\ln\left|\sqrt{ax+b}+m\right|\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1878 |