Задача №1431
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{x};\,x=u^2.\\& dx=2udu.\end{aligned}\right]
=\int\frac{2udu}{1+u}=\\
=2\int\left(1-\frac{1}{u+1}\right)du
=2\left(u-\ln|u+1|\right)+C
=2\cdot\left(\sqrt{x}-\ln\left|\sqrt{x}+1\right|\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\cdot\left(\sqrt{x}-\ln\left|\sqrt{x}+1\right|\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1874 |