Задача №1429
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x\sqrt{x+1}}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{x\sqrt{x+1}}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{x+1};\,x=u^2-1.\\& dx=2udu.\end{aligned}\right]
=\int\frac{2udu}{\left(u^2-1\right)u}du=\\
=2\cdot\int\frac{du}{u^2-1}
=\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C
=\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1872 |