Задача №1426
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}
=\left[\begin{aligned}& u=\sqrt{x+1};\;x=u^2-1.\\& dx=2udu.\end{aligned}\right]
=\int\frac{2udu}{u+1}
=2\int\frac{u+1-1}{u+1}du=\\
=2\int\left(1-\frac{1}{u+1}\right)du
=2u-2\ln|u+1|+C
=2\sqrt{x+1}-2\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right)+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\sqrt{x+1}-2\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1869 |