Задача №1420
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\sin\ln{x}dx}\).
Решение
\[
\int\sin\ln{x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\sin\ln{x};\;du=\frac{\cos\ln{x}}{x}dx.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]
=x\cdot\sin\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\cos\ln{x}}{x}}dx=\\
=x\cdot\sin\ln{x}-\int\cos\ln{x}dx
=\left[\begin{aligned}& u=\cos\ln{x};\;du=-\frac{\sin\ln{x}}{x}dx.\\& dv=dx;\;v=x.\end{aligned}\right]=\\
=x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int{x\cdot\frac{\sin\ln{x}}{x}}dx
=x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx
\]
\[
\int\sin\ln{x}dx=
x\cdot\sin\ln{x}-x\cdot\cos\ln{x}-\int\sin\ln{x}dx;\;
\int\sin\ln{x}dx=\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x}{2}\cdot(\sin\ln{x}-\cos\ln{x})+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1863 |