Задача №1419
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int{e^{ax}\cos{nx}}dx}\).
Решение
Если \(\displaystyle{a=n=0}\), то:
\[
\int{e^{ax}\cos{nx}}dx
=\int{dx}=x+C.
\]
Если \(\displaystyle{a=0}\), \(\displaystyle{n\neq{0}}\), то:
\[
\int{e^{ax}\cos{nx}}dx
=\int\cos{nx}dx=\frac{\sin{nx}}{n}+C.
\]
Если \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{n=0}\), то:
\[
\int{e^{ax}\cos{nx}}dx
=\int{e^{ax}}dx
=\frac{e^{ax}}{a}+C
\]
Если \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{n\neq{0}}\), то:
\[
\int{e^{ax}\cos{nx}}dx
=\left[\begin{aligned}& u=e^{ax};\,du=ae^{ax}dx.\\& dv=\cos{nx}dx;\;v=\frac{\sin{nx}}{n}.\end{aligned}\right]
=\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}-\frac{a}{n}\int{e^{ax}\sin{nx}}dx=\\
=\left[\begin{aligned}& u=e^{ax};\,du=ae^{ax}dx.\\& dv=\sin{nx}dx;\;v=-\frac{\cos{nx}}{n}.\end{aligned}\right]
=\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}-\frac{a}{n}\cdot\left(-\frac{e^{ax}\cos{nx}}{n}+\frac{a}{n}\int{e^{ax}\cos{nx}}dx\right)=\\
=\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}+\frac{ae^{ax}\cos{nx}}{n^2}-\frac{a^2}{n^2}\int{e^{ax}\cos{nx}}dx.
\]
\[
\int{e^{ax}\cos{nx}}dx
=\frac{e^{ax}\sin{nx}}{n}+\frac{ae^{ax}\cos{nx}}{n^2}-\frac{a^2}{n^2}\int{e^{ax}\cos{nx}}dx;\\
\int{e^{ax}\cos{nx}}dx=
\frac{e^{ax}(n\sin{nx}+a\cos{nx})}{n^2+a^2}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{e^{ax}(n\sin{nx}+a\cos{nx})}{n^2+a^2}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1862 |
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №1 | Общие приёмы и методы интегрирования |
| Задача №24 | |
| Пункт №4 |