Задача №1409
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int{x^2a^x}dx}\).
Решение
Если \(\displaystyle{a=1}\), то \(\displaystyle{\int{x^2a^x}dx=\int{x^2}dx=\frac{x^3}{3}+C}\). Если \(\displaystyle{a\gt{0}}\) и \(\displaystyle{a\neq{1}}\), то:
\[
\int{x^2a^x}dx
=\left[\begin{aligned}&u=x^2;\,du=2xdx.\\&dv=a^xdx;\;v=\frac{a^x}{\ln{a}}.\end{aligned}\right]
=\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2}{\ln{a}}\int{xa^x}dx=\\
=\left[\begin{aligned}&u=x;\,du=dx.\\&dv=a^xdx;\;v=\frac{a^x}{\ln{a}}.\end{aligned}\right]
=\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2}{\ln{a}}\cdot\left(\frac{xa^x}{\ln{a}}-\frac{1}{\ln{a}}\int{a^x}dx\right)=\\
=\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2}{\ln{a}}\cdot\left(\frac{xa^x}{\ln{a}}-\frac{1}{\ln{a}}\cdot\frac{a^x}{\ln{a}}\right)+C
=\frac{x^2a^x}{\ln{a}}-\frac{2xa^x}{\ln^2{a}}+\frac{2a^x}{\ln^3{a}}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{a^x}{\ln{a}}\cdot\left(x^2-\frac{2x}{\ln{a}}+\frac{2}{\ln^2{a}}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1852 |