Задача №1406
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int{x^2}\ln(1+x)dx}\).
Решение
\[
\int{x^2}\ln(1+x)dx
=\left[\begin{aligned}& u=\ln(1+x);\,du=\frac{dx}{1+x}.\\& dv=x^2dx,v=\frac{x^3}{3}.\end{aligned}\right]
=\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^3}{x+1}dx=\\
=\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^3+1-1}{x+1}dx
=\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{(x+1)\left(x^2-x+1\right)-1}{x+1}dx=\\
=\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{1}{3}\int\left(x^2-x+1-\frac{1}{x+1}\right)dx
=\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+\frac{\ln(x+1)}{3}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^3\ln(1+x)}{3}-\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+\frac{\ln(x+1)}{3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1849 |