Задача №1403
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\ln\left(x^2+1\right)dx}\).
Решение
\[
\int\ln\left(x^2+1\right)dx
=\left[\begin{aligned}& u=\ln\left(x^2+1\right);\,du=\frac{2xdx}{x^2+1}.\\& dv=dx;\,v=x.\end{aligned}\right]=\\
=x\ln\left(x^2+1\right)-2\int\frac{x^2dx}{x^2+1}
=x\ln\left(x^2+1\right)-2\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}dx=\\
=x\ln\left(x^2+1\right)-2\int\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx
=x\ln\left(x^2+1\right)-2x+2\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{x\ln\left(x^2+1\right)-2x+2\arctg{x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1846 |