Задача №1401
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x\arctg{x}dx}{\sqrt{1+x^2}}}\).
Решение
\[
\int\frac{x\arctg{x}dx}{\sqrt{1+x^2}}
=\left[\begin{aligned}& u=\arctg{x};\,du=\frac{dx}{1+x^2}.\\& dv=\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1+x^2\right);\,v=\sqrt{1+x^2}.\end{aligned}\right]=\\
=\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}
=\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{1+x^2}\cdot\arctg{x}-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1844 |