Задача №1393
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int{x}^n\ln{x}\,dx}\). (\(\displaystyle{n\neq{-1}}\))
Решение
\[
\int{x}^n\ln{x}\,dx
=\left[\begin{aligned}& u=\ln{x};\,du=\frac{dx}{x}.\\& dv=x^ndx;\,v=\frac{x^{n+1}}{n+1}.\end{aligned}\right]=\\
=\frac{x^{n+1}\ln{x}}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int{x^n}dx
=\frac{x^{n+1}\ln{x}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C
=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1}\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №2 | Основные методы интегрирования |
| Задача №1836 |