Задача №1232

Условие

Доказать, что интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx}\) заключён между \(\displaystyle{\frac{2}{\sqrt[4]{e}}}\) и \(\displaystyle{2e^2}\).

Решение

Найдём наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции \(\displaystyle{f(x)=e^{x^2-x}}\) на отрезке \(\displaystyle{[0;2]}\). Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

\[f'(x)=(2x-1)\cdot{e^{x^2-x}}\]

Так как \(\displaystyle{e^{x^2-x}\gt{0}}\), то равенство \(\displaystyle{f'(x)=0}\) возможно лишь при \(\displaystyle{2x-1=0}\), т.е. \(\displaystyle{x=\frac{1}{2}}\).

Значение \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\) принадлежит отрезку \(\displaystyle{[0;10]}\). Вычислим значения функции на концах отрезка интегрирования, а также в найденной стационарной точке:

\[f(0)=1;\;f\left(\frac{1}{2}\right)=e^{-\frac{1}{4}};\;f(2)=e^2.\]

Наименьшее и наибольшее значения функции \(\displaystyle{f(x)}\) на заданной отрезке будут такими:

\[f_{\min}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}};\;f_{\max}=e^2.\]

Следовательно, для заданного интеграла получим:

\[\frac{1}{\sqrt[4]{e}}\cdot(2-0)\le\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\le{e^2\cdot(2-0)};\;\frac{2}{\sqrt[4]{e}}\le\int\limits_{0}^{2}e^{x^2-x}dx\le{2e^2}.\]

Ответ:

Утверждение доказано.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №5	Определённый интеграл
Параграф №2	Основные свойства определённого интеграла
Задача №1629