Задача №1231

Условие

Непосредственным суммированием и последующим переходом к пределу вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}e^xdx}\). Интервал интегрирования делить на \(\displaystyle{n}\) равных частей.

Решение

Отрезок \(\displaystyle{[0;1]}\) делим на \(\displaystyle{n}\) равных частей точками \(\displaystyle{\frac{1}{n}}\), \(\displaystyle{\frac{2}{n}}\), \(\displaystyle{\frac{3}{n}}\) и так далее – до точки \(\displaystyle{\frac{n}{n}=1}\). На каждом отрезке \(\displaystyle{\left[\frac{i-1}{n};\frac{i}{n}\right]}\) выбираем точку \(\displaystyle{\xi_i=\frac{i}{n}}\). Длина каждого отрезка равна \(\displaystyle{\Delta{x_i}=\frac{1}{n}}\). В каждой точке \(\displaystyle{\xi_i}\) получим \(\displaystyle{f(\xi_i)=e^{\frac{i}{n}}}\).

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta{x_i} =\frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i =\frac{1}{n}\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(1-e)}{1-e^{\frac{1}{n}}} \]

Переходя к пределу при \(\displaystyle{n\to\infty}\) получим:

\[ \int\limits_{0}^{1}e^xdx =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(1-e)}{1-e^{\frac{1}{n}}}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot(e-1)}{\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}} =\frac{1\cdot(e-1)}{1} =e-1. \]

Ответ:

\(\displaystyle{e-1}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №5	Определённый интеграл
Параграф №1	Определённый интеграл и его простейшие свойства
Задача №1616

Задачник №3	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2)
Параграф №6	Определённый интеграл
Задача №4
Пункт №1