Задача №1230
Условие
Найти кривизну кривой \(\displaystyle{xy=4}\) в точке \(\displaystyle{(2;2)}\).
Решение
Запишем уравнение данной кривой в явном виде: \(\displaystyle{y=\frac{4}{x}}\).
\[y'=-\frac{4}{x^2},\; y''=\frac{8}{x^3}.\]
При \(\displaystyle{x=2}\) получим: \(\displaystyle{y'(2)=-1}\), \(\displaystyle{y''(-2)=1}\).
Кривизна будет такой:
\[k=\frac{y''}{\left(1+(y')^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №6 | Кривизна |
| Задача №1529 |