Задача №1229
Условие
Разложить многочлен \(\displaystyle{x^3+3x^2-2x+4}\) по степеням двучлена \(\displaystyle{x+1}\).
Решение
\[
\begin{aligned}
& f(x)=x^3+3x^2-2x+4;\; f(-1)=8.\\
& f'(x)=3x^2+6x-2;\; f'(-1)=-5.\\
& f''(x)=6x+6;\; f''(-1)=0.\\
& f'''(x)=6.
\end{aligned}
\]
Если \(\displaystyle{n\gt{3}}\), то \(\displaystyle{f^{(n)}(x)=0}\).
\[
f(x)=8+\frac{-5\cdot(x+1)^1}{1!}+\frac{0\cdot(x+1)^2}{2!}+\frac{6\cdot(x+1)^3}{3!}
=8-5\cdot(x+1)+(x+1)^3
\]
Ответ:
\(\displaystyle{x^3+3x^2-2x+4=8-5\cdot(x+1)+(x+1)^3}\)
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №5 | Формула Тейлора и её применение |
| Задача №1499 |