Задача №1222
Условие
Показать, что график функции \(y=x\arctg{x}\) везде вогнутый.
Решение
Данная функция определена при \(x\in{R}\).
\[
y'=\arctg{x}+\frac{x}{1+x^2};\\
y''=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1+x^2-x\cdot{2x}}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{2}{\left(1+x^2\right)^2}.
\]
Так как \(y''\gt{0}\) при всех \(x\in{R}\), то график функции вогнутый на всей области определения.
Ответ:
Утверждение доказано.