Задача №1222
Условие
Показать, что график функции \(\displaystyle{y=x\arctg{x}}\) везде вогнутый.
Решение
Данная функция определена при \(\displaystyle{x\in{R}}\).
\[
y'=\arctg{x}+\frac{x}{1+x^2};\\
y''=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1+x^2-x\cdot{2x}}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{2}{\left(1+x^2\right)^2}.
\]
Так как \(\displaystyle{y''\gt{0}}\) при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\), то график функции вогнутый на всей области определения.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №3 | Применение второй производной |
| Задача №1281 |