Задача №1221

Условие

Найти экстремумы функции \(\displaystyle{y=x^{\frac{1}{x}}}\), пользуясь второй производной.

Решение

Заданная функция определена и непрерывна при \(\displaystyle{x\gt{0}}\).

Логарифмируя обе части равенства \(\displaystyle{y=x^{\frac{1}{x}}}\) и дифференцируя, получим:

\[ \ln{y} =\frac{1}{x}\ln{x};\\ \left(\ln{y}\right)' =\left(\frac{1}{x}\ln{x}\right)';\\ \frac{1}{y}\cdot{y'} =-\frac{1}{x^2}\ln{x}+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} =-x^{-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right);\\ y'=y\cdot\left(-x^{-2}\right)\cdot\left(\ln{x}-1\right) =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right). \]

Точек, принадлежащих области определения, в которых \(\displaystyle{y'}\) не существует, нет. Если же \(\displaystyle{y'=0}\), то \(\displaystyle{x=e}\). Итак, имеем одну стационарную точку: \(\displaystyle{x=e}\).

Для отыскания \(\displaystyle{y''}\) нам придётся находить производную функции \(\displaystyle{x^{\frac{1}{x}-2}}\). Чтобы не загромождать записи, сделаем это отдельно. Можно применить метод логарифмического дифференцирования, использованный выше, однако сугубо для разнообразия пойдём иным путём:

\[ \left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)' =\left(e^{\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}}\right)' =e^{\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}}\cdot\left(\left(\frac{1}{x}-2\right)\ln{x}\right)'=\\ =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\ln{x}+\left(\frac{1}{x}-2\right)\cdot\frac{1}{x}\right) =x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(-\frac{\ln{x}}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right). \]

Теперь обратимся к \(\displaystyle{y''}\):

\[ y''=\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)'\cdot\left(\ln{x}-1\right)+x^{\frac{1}{x}-2}\cdot\left(\ln{x}-1\right)' =x^{\frac{1}{x}-4}\cdot\left(\ln^2{x}-2\ln{x}-3x+2x\ln{x}+1\right) \]

Так как \(\displaystyle{y''(e)=-e^{\frac{1}{e}-3}\lt{0}}\), то \(\displaystyle{x=e}\) – точка максимума. Максимум будет таким:

\[ y_{\max}=y(e)=e^{\frac{1}{e}}. \]

Ответ:

Точка максимума: \(\displaystyle{x=e}\).
Максимум: \(\displaystyle{y_{\max}=e^{\frac{1}{e}}}\).

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №4	Исследование функций и их графиков
Параграф №3	Применение второй производной
Задача №1275