Задача №1220
Условие
Найти экстремумы функции \(\displaystyle{y=\frac{x}{\ln{x}}}\), пользуясь второй производной.
Решение
Область определения данной функции: \(\displaystyle{D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)}\).
\[
y'
=\frac{\ln{x}-x\cdot\frac{1}{x}}{\ln^2{x}}
=\frac{\ln{x}-1}{\ln^2{x}}
\]
Определим критические точки данной функции:
\[
\ln{x}-1=0;\;
x=e.
\]
Вычислим \(\displaystyle{y''}\):
\[
y''
=\frac{\frac{1}{x}\cdot\ln^2{x} - (\ln{x}-1)\cdot{2}\ln{x}\cdot\frac{1}{x}}{\ln^4{x}}
=\frac{2-\ln{x}}{x\ln^3{x}}
\]
Так как \(\displaystyle{y''(e)=\frac{1}{e}\gt{0}}\), то \(\displaystyle{x=e}\) – точка минимума.
\[
y_{\min}=y(e)=e.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y_{\min}=e}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №3 | Применение второй производной |
| Задача №1274 |