Задача №1219
Условие
Найти экстремумы функции \(\displaystyle{y=x^2 e^{-x}}\), пользуясь второй производной.
Решение
Область определения данной функции: \(\displaystyle{D(y)=(-\infty;+\infty)}\).
\[y'=2xe^{-x}+x^2\cdot\left(-e^{-x}\right)=\left(2x-x^2\right)e^{-x}\]
Так как \(\displaystyle{e^{-x}\gt{0}}\) при всех \(\displaystyle{x\in{D(y)}}\), то равенство \(\displaystyle{y'=0}\) возможно лишь при условии \(\displaystyle{2x-x^2=0}\).
\[2x-x^2=0;\;x\cdot(2-x)=0;\;x_1=0;\;x_2=2.\]
Обе найденные стационарные точки принадлежат области определения. Вычислим \(\displaystyle{y' '}\):
\[y' '=(2-2x)e^{-x}+(2x-x^2)\cdot(-e^{-x})=\left(x^2-4x+2\right)e^{-x}\]
Так как \(\displaystyle{y' '(0)=2\gt{0}}\), то \(\displaystyle{x=0}\) - точка минимума. Так как \(\displaystyle{y' '(0)=-\frac{2}{e^2}\lt{0}}\), то \(\displaystyle{x=2}\) - точка максимума.
\[
\begin{aligned}
& y_{\min}=y(0)=0;\\
& y_{\max}=y(2)=\frac{4}{e^2}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y_{\min}=0}\), \(\displaystyle{y_{\max}=\frac{4}{e^2}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №3 | Применение второй производной |
| Задача №1273 |