Задача №1218

Решение

Сперва выясним, будет ли заданная функция определена и непрерывна на промежутке \(\displaystyle{X=[1;+\infty)}\). Так как функция \(\displaystyle{\arctg{x}}\) определена и непрерывна при \(\displaystyle{x\in{R}}\), то рассмотрим \(\displaystyle{\arcsin\frac{2x}{1+x^2}}\) при \(\displaystyle{x\ge{1}}\). Данная функция будет непрерывна при условии \(\displaystyle{-1\le\frac{2x}{1+x^2}\le{1}}\).

При \(\displaystyle{x\ge{1}}\) имеем \(\displaystyle{\frac{2x}{1+x^2}\gt{0}}\), т.е. неравенство \(\displaystyle{\frac{2x}{1+x^2}\ge{-1}}\) истинно. Докажем вторую часть неравенства, т.е. \(\displaystyle{\frac{2x}{1+x^2}\le{1}}\).

Равенство \(\displaystyle{\frac{2x}{1+x^2}=1}\) будет достигнуто лишь при \(\displaystyle{x=1}\). Итак, если \(\displaystyle{x\ge{1}}\), то \(\displaystyle{0\lt\frac{2x}{1+x^2}\le{1}}\), т.е. функция \(\displaystyle{\arcsin\frac{2x}{1+x^2}}\), а следовательно и исходная функция \(\displaystyle{y(x)}\), будет определена и непрерывна на промежутке \(\displaystyle{X}\).

Дифференцируем функцию \(\displaystyle{y(x)}\) ''внутри'' промежутка \(\displaystyle{X}\), т.е. при \(\displaystyle{x\gt{1}}\):

Так как \(\displaystyle{y'=0}\) при \(\displaystyle{x\in(1;+\infty)}\), то функция \(\displaystyle{y(x)}\) есть константа при \(\displaystyle{x\in{X}}\), т.е. \(\displaystyle{y(x)=C}\) при любых значениях \(\displaystyle{x\in{X}}\). Для нахождения значения \(\displaystyle{C}\) достаточно определить значение \(\displaystyle{y(x)}\) в произвольной точке множества \(\displaystyle{X}\).

Полагая, например, \(\displaystyle{x=1}\), получим:

Разумеется, мы могли бы взять и иное значение аргумента: например, принять \(\displaystyle{x=\sqrt{3}}\). Результат, конечно же, не изменится.