Задача №1217
Условие
Доказать справедливость неравенства \(\displaystyle{\sin{x}\lt{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}}\) (\(\displaystyle{x\gt{0}}\)).
Решение
Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\sin{x}}\).
При \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{x\gt\sin{x}}\), посему \(\displaystyle{f^{(4)}(x)\gt{0}}\).
Так как \(\displaystyle{f'''(0)=0}\) и \(\displaystyle{f^{(4)}(x)\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{f'''(x)\gt{0}}\).
Так как \(\displaystyle{f''(0)=0}\) и \(\displaystyle{f'''(x)\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{f''(x)\gt{0}}\).
Так как \(\displaystyle{f'(0)=0}\) и \(\displaystyle{f''(x)\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{f'(x)\gt{0}}\).
Так как \(\displaystyle{f(0)=0}\) и \(\displaystyle{f'(x)\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\).
Мы доказали, что \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{\sin{x}\lt{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}}\).
Ответ:
Неравенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №2 | Применение первой производной |
| Задача №1205 |