Задача №1216

Решение

Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=x-\ln(x+1)}\).

Если \(\displaystyle{x\gt{0}}\), то \(\displaystyle{f'(x)\gt{0}}\), т.е. функция возрастает при \(\displaystyle{x\in[0;+\infty)}\).

Согласно определению возрастающей функции, для любых значений \(\displaystyle{x_2\gt{x_1}}\), принадлежащих промежутку \(\displaystyle{[0;+\infty)}\), верно неравенство \(\displaystyle{f(x_2)\gt{f(x_1)}}\). Это значит, что при любом \(\displaystyle{x\gt{0}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{f(0)}}\). Так как \(\displaystyle{f(0)=0}\), то неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{f(0)}}\) примет вид \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\).

В свою очередь, выполнение неравенства \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\) и означает, что \(\displaystyle{x\gt\ln(x+1)}\).