Задача №1215

Решение

Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=e^x-x-1}\).

Получили одну стационарную точку: \(\displaystyle{x=0}\). Это точка минимума, ибо при \(\displaystyle{x\lt{0}}\) имеем \(\displaystyle{y'\lt{0}}\), а при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{y'\gt{0}}\). Кроме того, мы получили интервалы монотонности: при \(\displaystyle{x\in(-\infty;0]}\) функция убывает, а при \(\displaystyle{x\in[0;+\infty)}\) – возрастает.

Согласно определению убывающей функции, для любых значений \(\displaystyle{x_2\gt{x_1}}\), принадлежащих промежутку \(\displaystyle{(-\infty;0]}\), верно неравенство \(\displaystyle{f(x_2)\lt{f(x_1)}}\). Это значит, что при любом \(\displaystyle{x\lt{0}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{f(0)}}\). Так как \(\displaystyle{f(0)=0}\), то неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{f(0)}}\) примет вид \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\).

Аналогично, исходя из возрастания функции на промежутке \(\displaystyle{[0;+\infty)}\), следует, что при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{f(x)\gt{f(0)}}\), т.е. \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\).

Таким образом, при всех \(\displaystyle{x\neq{0}}\) верно неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{e^x\gt{1+x}}\).