Задача №1212
Условие
Найти экстремумы функции \(\displaystyle{y=x-\ln(1+x)}\).
Решение
Область определения: \(\displaystyle{D(y)=(-1;+\infty)}\).
\[
y'=1-\frac{1}{x+1};\;
y''=\frac{1}{(x+1)^2}.
\]
\[
y'=0\;\Leftrightarrow\;
1-\frac{1}{x+1}=0\;\Leftrightarrow\;
x=0.
\]
Так как \(\displaystyle{y''(0)=1\gt{0}}\), то \(\displaystyle{x=0}\) – точка минимума.
\[
y_{\min}
=y(0)
=0.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y_{\min}=0}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №2 | Применение первой производной |
| Задача №1175 |