Задача №1211

Решение

Данная функция непрерывна на отрезке \(\displaystyle{[-1;2]}\) и дифференцируема на интервале \(\displaystyle{(-1;2)}\). Найдём значения функции на концах отрезка:

Значения функции на концах заданного отрезка равны, т.е. \(\displaystyle{f(-1)=f(2)}\). Исходя из вышесказанного, делаем вывод, что на отрезке \(\displaystyle{[-1;2]}\) выполнены условия теоремы Ролля, т.е. существует хотя бы одна точка \(\displaystyle{\xi\in[-1;2]}\) такая, что \(\displaystyle{f'\left(\xi\right)=0}\).

Проверим справедливость теоремы. Проще всего показать существование точки \(\displaystyle{\xi}\), указав конкретное значение \(\displaystyle{\xi}\).

Так как \(\displaystyle{f\left(\xi\right)=0}\), то:

Отрезку \(\displaystyle{[-1;2]}\) принадлежит значение \(\displaystyle{\xi_2}\). Следовательно, существует такая точка \(\displaystyle{\xi=\frac{-4+\sqrt{37}}{3}}\), что \(\displaystyle{f'\left(\xi\right)=0}\).