Задача №1205
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(\displaystyle{n}\) от функции \(\displaystyle{y=x\ln{x}}\).
Решение
В принципе, здесь можно применить и формулу Лейбница, однако же обойдёмся без неё. Для заданной функции получим:
На основании полученных результатов можем выдвинуть предположение о том, что производная n-го порядка выглядит так:
Разумеется, формула \(\displaystyle{y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}}\) рассматривается при условии \(\displaystyle{n\ge{2}}\). Докажем эту формулу, используя метод математической индукции.
При \(\displaystyle{n=2}\) формула верна, т.е. \(\displaystyle{y''=x^{-1}}\).
Пусть формула верна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е. \(\displaystyle{y^{(k)}=(-1)^{k}(k-2)!\cdot{x^{-k+1}}}\).
Докажем истинность формулы при \(\displaystyle{n=k+1}\), т.е. докажем, что \(\displaystyle{y^{(k+1)}=(-1)^{k+1}(k-1)!\cdot{x^{-k}}}\).
При \(\displaystyle{n=k+1}\) формула верна. Следовательно, согласно методу математической индукции формула \(\displaystyle{y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}}\) истинна при всех \(\displaystyle{n\ge{2}}\).
Ответ:
- \(\displaystyle{y'=\ln{x}+1}\)
- \(\displaystyle{y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}}\), \(\displaystyle{n\ge{2}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №3 | Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление |
| Параграф №5 | Повторное дифференцирование |
| Задача №1034 |