Задача №1204

Решение

Решение без формулы Лейбница

Найдём несколько производных:

Выдвинем гипотезу, что \(\displaystyle{y^{(n)}=n\cdot{e^x}+xe^x}\). Докажем её методом математической индукции. При \(\displaystyle{n=1}\) доказываемое равенство верно. Пусть оно верно и при \(\displaystyle{n=k}\), т.е. \(\displaystyle{y^{(k)}=k\cdot{e^x}+xe^x}\). Проверим истинность равенства при \(\displaystyle{n=k+1}\):

При \(\displaystyle{n=k+1}\) равенство выполнено, поэтому согласно методу индукции, равенство \(\displaystyle{y^{(n)}=n\cdot{e^x}+xe^x}\) верно при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Решение с применением формулы Лейбница

Согласно формуле Лейбница имеем: \(\displaystyle{\left(y_1\cdot{y_2}\right)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}y_{1}^{(n-k)}y_{2}^{(k)}}\). В нашем случае \(\displaystyle{y_1=x}\), \(\displaystyle{y_2=e^x}\). Так как при \(\displaystyle{n\ge{2}}\) имеем \(\displaystyle{y_{1}^{(n)}=0}\) и, кроме того, \(\displaystyle{y_{2}^{(n)}=e^x}\) при \(\displaystyle{n\in{N}}\), то в формуле Лейбница останутся лишь те слагаемые, которые содержат \(\displaystyle{y'_{1}}\) и \(\displaystyle{y_1}\), т.е. два слагаемых при \(\displaystyle{k=n-1}\) и \(\displaystyle{k=n}\).