Задача №1202

Решение

На основании полученных результатов можем выдвинуть предположение о том, что \(\displaystyle{y^{(n)}=a^n\cdot{e^{ax}}}\). Докажем эту формулу, используя метод математической индукции.

При \(\displaystyle{n=1}\) формула верна, т.е. \(\displaystyle{y'=a\cdot{e^{ax}}}\).

Пусть формула верна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е. \(\displaystyle{y^{(k)}=a^k\cdot{e^{ax}}}\).

Докажем истинность формулы при \(\displaystyle{n=k+1}\), т.е. докажем, что \(\displaystyle{y^{(k+1)}=a^{k+1}\cdot{e^{ax}}}\).

При \(\displaystyle{n=k+1}\) формула верна. Следовательно, согласно методу математической индукции формула \(\displaystyle{y^{(n)}=a^n\cdot{e^{ax}}}\) истинна при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\).