Задача №1195
Условие
Доказать, что при \(\displaystyle{x\to{0}}\) бесконечно малые величины \(\displaystyle{e^{2x}-e^x}\) и \(\displaystyle{\sin{2x}-\sin{x}}\) будут эквивалентными.
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{2x}-\sin{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)}{\sin{2x}-\sin{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x\cdot\frac{e^x-1}{x}}{2\cdot\frac{\sin{2x}}{2x}-\frac{\sin{x}}{x}}
=\frac{1\cdot{1}}{2-1}
=1.
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{2x}-\sin{x}}=1}\), то бесконечно малые при \(\displaystyle{x\to{0}}\) функции \(\displaystyle{e^{2x}-e^x}\) и \(\displaystyle{\sin{2x}-\sin{x}}\) эквивалентны.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №413 |