Задача №1191
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{x}}{x^2}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\cos{x}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+\cos{x}-1)}{x^2}
=\lim_{x\to{0}}\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln\left(1+\left(-2\sin^2\frac{x}{2}\right)\right)}{-2\sin^2\frac{x}{2}}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\right)
=-\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №398 |