Задача №1189
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}}\) при \(\displaystyle{n\gt{0}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{0\lt{n}\lt{1}}\), то при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) имеем \(\displaystyle{x^{1-n}\to+\infty}\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x^n}\right)^{x^{1-n}}
=+\infty.
\]
Если \(\displaystyle{n=1}\), то получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
=e.
\]
Если \(\displaystyle{n\gt{1}}\), то при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) имеем \(\displaystyle{x^{1-n}\to{0}}\), поэтому:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x^n}\right)^{x^{1-n}}
=e^{0}
=1.
\]
Ответ:
- \(\displaystyle{+\infty}\) при \(\displaystyle{0\lt{n}\lt{1}}\);
- \(\displaystyle{e}\) при \(\displaystyle{n=1}\);
- \(\displaystyle{1}\) при \(\displaystyle{n\gt{1}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №396 |