Задача №1186
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right)}\).
Решение
\[
\begin{aligned}
& \arctg{x}-\arctg{y}=\arctg\frac{x-y}{1+xy};\;xy\gt{-1}.\\
& \arctg\frac{x+1}{x+2}-\arctg{1}=\arctg\frac{-1}{2x+3}.
\end{aligned}
\]
\[
\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\arctg\frac{-1}{2x+3}\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\arctg\frac{-1}{2x+3}}{\frac{-1}{2x+3}}\cdot\frac{-x}{2x+3}\right)
=-\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №393 |