Задача №1185
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}\right)}\).
Решение
Отмечу, что в данном случае речь идёт о \(\displaystyle{+\infty}\), т.е. \(\displaystyle{x\to+\infty}\). Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=0.
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(-2\sin\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\cdot\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\right)
\]
Функция \(\displaystyle{\sin\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}\) является ограниченной, а функция \(\displaystyle{\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}\) – бесконечно малой. Это значит, что произведение упомянутых функций есть функция бесконечно малая, т.е. искомый предел равен 0.
Ответ:
0Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №392 |