Задача №1183

Решение

Обозначим \(\displaystyle{y_n=\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\ldots\cos\frac{x}{2^n}}\). Очевидно, что при \(\displaystyle{x=0}\) получим \(\displaystyle{y_n=1}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\). Рассмотрим отдельно случай (он пригодится в дальнейшем решении), когда параметр \(\displaystyle{x}\) имеет вид \(\displaystyle{x=2^i\pi{k}}\), где \(\displaystyle{k\in{Z\backslash\{0\}}}\), \(\displaystyle{i\in{N}}\). Пусть число 2 входит в каноническое разложение \(\displaystyle{|k|}\) с степенью \(\displaystyle{j}\). Если число \(\displaystyle{|k|}\) – нечётное, то полагаем \(\displaystyle{j=0}\). Число \(\displaystyle{|k|}\) можем записать в виде \(\displaystyle{|k|=2^j\cdot(2t+1)}\), где \(\displaystyle{t\in{N}\cup\{0\}}\). Само число \(\displaystyle{k}\) запишем в такой форме:

Таким образом, любое число вида \(\displaystyle{x=2^i\pi{k}}\) можно представить в форме \(\displaystyle{x=\sgn{k}\cdot{2^{i+j}}\cdot(2t+1)\pi}\).

Рассмотрим член \(\displaystyle{y_{i+j+1}}\). Он будет содержать множитель \(\displaystyle{\cos\frac{x}{2^{i+j+1}}}\). Для этого множителя с учётом чётности косинуса получим следующее:

Это значит, что \(\displaystyle{y_{i+j+1}=0}\). При этом все члены последовательности \(\displaystyle{\{y_n\}}\), номер которых превышает \(\displaystyle{n_0=i+j+1}\), также будут содержать множитель \(\displaystyle{\cos\frac{x}{2^{i+j+1}}}\), т.е. при \(\displaystyle{n\ge{n_0}}\) получим \(\displaystyle{y_n=0}\).

С учётом вышеизложенного, можем сделать вывод, что при \(\displaystyle{x=2^i\pi{k}}\), где \(\displaystyle{k\in{Z\backslash\{0\}}}\) и \(\displaystyle{i\in{N}}\), имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}y_n=0}\). Если \(\displaystyle{x\neq{2^i\pi{k}}}\), то получим:

Так как \(\displaystyle{2\sin\frac{x}{2^i}\cos\frac{x}{2^i}=\sin\frac{x}{2^{i-1}}}\), то:

Возвращаясь к пределу, будем иметь:

С учётом результатов предыдущего исследования при \(\displaystyle{x=2^i\pi{k}}\), ответ можно записать так: