Задача №1175

Решение

Если \(\displaystyle{a=1}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=0}\). Случай \(\displaystyle{a\neq{1}}\) рассмотрим в двух пунктах. Для удобства запишем функцию \(\displaystyle{\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}}\) в таком виде: \(\displaystyle{\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}}\).

Пункт №1: \(\displaystyle{x\to-\infty}\).

Если \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{2x}\to+\infty}\), поэтому получим:

Если \(\displaystyle{a\gt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{2x}\to{0}}\), поэтому получим:

Пункт №2: \(\displaystyle{x\to+\infty}\).

Если \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{2x}\to{0}}\), поэтому получим:

Если \(\displaystyle{a\gt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{2x}\to+\infty}\), поэтому получим: