Задача №1174

Решение

Если \(\displaystyle{a=1}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x}{a^x+1}=\frac{1}{2}}\). Случай \(\displaystyle{a\neq{1}}\) рассмотрим в двух пунктах. Для удобства запишем функцию \(\displaystyle{\frac{a^x}{a^x+1}}\) в таком виде: \(\displaystyle{\frac{1}{1+a^{-x}}}\).

Пункт №1: \(\displaystyle{x\to-\infty}\).

Если \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{-x}\to{0}}\), поэтому получим:

Если \(\displaystyle{a\gt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{-x}\to+\infty}\), поэтому получим:

Пункт №2: \(\displaystyle{x\to+\infty}\).

Если \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{-x}\to+\infty}\), поэтому получим:

Если \(\displaystyle{a\gt{1}}\), то \(\displaystyle{a^{-x}\to{0}}\), поэтому получим: