Задача №1173
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)}\).
Решение
Если \(\displaystyle{x\to-\infty}\), то предел равен \(\displaystyle{-\infty}\). Если же \(\displaystyle{x\to+\infty}\), то получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}
=0.
\]
Ответ:
При \(\displaystyle{x\to-\infty}\) предел равен \(\displaystyle{-\infty}\); при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) предел равен 0.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №380 |