Задача №1172
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}}\). Отдельно рассмотреть случаи, когда \(\displaystyle{n}\) есть:
- целое положительное число;
- целое отрицательное число;
- нуль
Решение
Пункт №1
Если \(\displaystyle{n\in{N}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}
=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a+\frac{1}{x^n}\right)^n}{1+\frac{A}{x^n}}
=a^n.
\]
Пункт №2
Обозначим \(\displaystyle{k=|n|}\), тогда \(\displaystyle{n=-k}\), \(\displaystyle{k\in{N}}\).
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}
=\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^{-k}}{x^{-k}+A}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
\]
Рассмотрим 4 случая различных комбинаций значений параметров \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{A}\).
Если \(\displaystyle{a=0}\), \(\displaystyle{A=0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}x^k
=\infty.
\]
Если \(\displaystyle{a=0}\), \(\displaystyle{A\neq{0}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{1+Ax^k}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^k}+A}
=\frac{1}{A}.
\]
Если \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{A=0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(a+\frac{1}{x}\right)^k}
=\frac{1}{a^k}
=a^n.
\]
Если \(\displaystyle{a\neq{0}}\), \(\displaystyle{A\neq{0}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{(ax+1)^k\cdot\left(\frac{1}{x^k}+A\right)}
=0.
\]
Пункт №3
Если \(\displaystyle{n=0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}
=\frac{1}{1+A}.
\]
Ответ:
Задача решена.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №379 |