Задача №1171
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\th{x}}\).
Решение
\[
\th{x}
=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
=1-\frac{2}{e^{2x}+1}.
\]
Если \(\displaystyle{x\to-\infty}\), то \(\displaystyle{e^{2x}\to{0}}\); если \(\displaystyle{x\to+\infty}\), то \(\displaystyle{e^{2x}\to+\infty}\).
\[
\begin{aligned}
&\lim_{x\to-\infty}\th{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(1-\frac{2}{e^{2x}+1}\right)=-1;\\
&\lim_{x\to+\infty}\th{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{e^{2x}+1}\right)=1.
\end{aligned}
\]
Ответ:
- -1 при \(\displaystyle{x\to-\infty}\);
- 1 при \(\displaystyle{x\to+\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №378 |