Задача №1162
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h}}\).
Решение
Для данной задачи полагаем \(\displaystyle{a\gt{0}}\). Если \(\displaystyle{a=1}\), то предел равен нулю. Если \(\displaystyle{a\in(0;1)\cup(1;+\infty)}\), то получим:
\[
\lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h}
=\left[\begin{aligned}
& t=a^h-1; t\to{0}.\\
& h=\log_a(1+t).
\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\log_a(1+t)}
=\lim_{t\to{0}}\frac{1}{\log_a\left(\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right)}
=\frac{1}{\log_a{e}}
=\ln{a}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln{a}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №369 |