Задача №1161
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{e}}\frac{\ln{x}-1}{x-e}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{e}}\frac{\ln{x}-1}{x-e}
=\left[\begin{aligned}
& t=x-e;\\
& t\to{0}.
\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\ln(t+e)-\ln{e}}{t}
=\lim_{t\to{0}}\left(\frac{1}{e}\cdot\ln\left(\left(1+\frac{t}{e}\right)^{\frac{e}{t}}\right)\right)
=\frac{1}{e}\cdot\ln{e}
=\frac{1}{e}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{e}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №368 |