Задача №1160
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\left(\ln(x+a)-\ln{x}\right)\right)}\).
Решение
Если \(\displaystyle{a=0}\), то данный предел равен 0. Если же \(\displaystyle{a\neq{0}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\left(\ln(x+a)-\ln{x}\right)\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(a\cdot\ln\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^{\frac{x}{a}}\right)\right)
=a\cdot\ln{e}
=a.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{a}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №367 |