Задача №1159
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(a+x)-\ln{a}}{x}}\).
Решение
Исходя из области определения логарифма имеем \(\displaystyle{a\gt{0}}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(a+x)-\ln{a}}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{x}{a}\right)\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{a}\cdot\ln\left(\left(1+\frac{x}{a}\right)^{\frac{a}{x}}\right)\right)
=\frac{1}{a}\cdot\ln{e}
=\frac{1}{a}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{a}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №366 |