Задача №1158
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+kx)}{x}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{k=0}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+kx)}{x}=0}\). Если же \(\displaystyle{k\neq{0}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+kx)}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\ln\left(\left(1+kx\right)^{\frac{1}{x}}\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(k\cdot\ln\left(\left(1+kx\right)^{\frac{1}{kx}}\right)\right)
=k\cdot\ln{e}
=k.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{k}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №365 |